“Với hai số nguyên bất kì nếu chúng không có ước số chung nào khác ngoài số 1, người ta gọi chúng là các số nguyên tố cùng nhau. Nếu trong ba số có hai số bất kì nguyên tố cùng nhau thì người ta gọi chúng là các số nguyên tố cùng nhau song song hay các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một.
Tại sao với 3 số lẻ liên tiếp bất kì nhất định có hai số nguyên tố cùng nhau?
Chúng ta đã biết số lẻ là số không chia hết cho 2 vì vậy với số lẻ ta chỉ có ước số là các số lẻ.
Ví dụ số 15 chỉ có các ước số 1, 3, 5, 15 là các số lẻ.
Nếu hai số cùng là bội số của một số p thì hiệu của chúng cũng là bội số của p.
Ví dụ 100 và 15 đều là bội số của 5 thì hiệu số của hai số là 85 cũng là bội số của 5.
Từ các lí luận trên đây chúng ta có thể giải đáp câu hỏi “vì sao” đã đề ra.
Giả sử ta có 3 số lẻ liên tiếp, ta chọn một số là a thì số lớn sẽ là b = a + 2 hoặc b = a + 4. Nếu a và b có ước số chung là p thì p phải là ước số của hiệu số b – a, có nghĩa là p phải là ước số của 2 hoặc 4. Vì p = 1 nên a và b chỉ có ước số chung là 1. Từ đó nếu a, b là số lẻ thì ước số chung của chúng chỉ là 1. Vì a và b là các số lẻ nên chúng không có ước số chung là số chẵn. Chúng ta đã chứng minh a và b chỉ có ước số chung là 1 nên a và b phải là các số nguyên tố cùng nhau. Với ba số lẻ liên tiếp bất kì luôn có hai số nguyên tố cùng nhau.”